整数に関する問題

こんにちは!講師の青木です。

今日はちょっと難しい大学入試の数学についてお話ししようと思います。
今回紹介する数学の問題は「整数に関する問題」ですが、これは文理問わず、多くの受験生が解けそうで解けない非常に難しい分野です。もちろん、この分野は非常に歴史も古く古代ギリシアの時代から研究され続け、もちろん現代も多くの数学者が研究しているものです。

それでは本題に入りましょう。今回お話しする問題は2014年に文系の難関大学としても有名な「一橋大学」において出題された問題です。
問題文自体は非常にシンプルですが、なかなか解くのは大変なものです。ぜひ解説を見る前に自力で一回解いてみてください。

--問題--

a-b-8とb-c-8がともに素数となるような素数の組(a,b,c)をすべて求めよ。

--解説--


どうだったでしょうか。非常に解くのは大変ですが、言われればわかる、といった問題だと思います。講評にも書いてある通り、「2以外の素数はすべて奇数である」という当たり前の事実を使っています。

この手の整数問題は東京大学、京都大学、大阪大学、東京工業大学、一橋大学、地元では筑波大学や千葉大学など多くの難関国立大学で出題されています。また、整数問題というのは一つ一つの問題によって解き方が違い、すべて解くためには長い訓練と深い知識が必要です。これを読んでいる高校生のみなさんもぜひ、今から手を付けてみてはいかがでしょうか。

しかしながら、大学入試の数学というのは整数分野だけではありません。微分積分や数列、ベクトル、確率…いろいろな分野の問題が形を変えてあなた方の目の前に立ちはだかるわけです。それらを自分の手で倒したものこそが大学に受かり、勝者となっていくわけです。一人でその準備はできますか?あなただけで十分な訓練はできますか?
歴史的に見ても、勝者には必ず指導者がそばにいるのです。必ず、手助けをし、道を示していく者がいるのです。私ならあなたの力になれるでしょう。あなたに今、やる気があるのなら行きたい大学への道を示すことはできるでしょう。

しかし、今から道を踏み出すのは私ではありません。ほかでもないあなたなのです。いばらの道の歩き方は私もお教えすることはできます。しかし、歩みを進めるのはあなたなのです。ぜひ、この機会に一緒に頑張りませんか。この夏、僕は私は頑張ったんだと、やりきったんだと言えるようになりませんか。

私は教室であなたのことをいつでも待っています。

[2015-07-23]