数学の解きなおし 【剰余の定理】

みなさんこんにちは。
個別指導塾ノーバスです。
5月ゴールデンウイーク以降に高校や私立中高一貫校が中間テストや前期中間テストなどが順に行われています。

さて高2の数学で質問を受けました。
数学Ⅱの「剰余の定理」です。


この問題がいまいちずっとわかりませんでした。

問題 整式P(Ⅹ)をⅩ-2で割ると4余り、Ⅹ+3で割ると-11余るこの時、P(x)を(Ⅹ-2)(X+3)で割ったときの余りを求めよ。
教科書に載っている解説を載せていくと
「P(Ⅹ)を(X-2)(Ⅹ+3)で割ったときの商をQ(Ⅹ)とする。」
2次式で割ったときの余りは、1次式以下なので
→まずこれです。正直最初は「???」でした。
これを簡単な例にしました。

① 5÷3=1あまり2
このあまり2は、必ず割る数の3より小さくなります。
では文字式の場合で考えると
② (X2+5X+4)÷(X+2)=X+3あまり-2

①から考えると、この「-2」という余りは、割る数のX+2より小さいはず。
数学的な言い方をすると、
1次式よりも小さいはず

2次式→1次式
3次式→2次式

があまりになるはずです。

そこで、この問題を解く際に求める余りをaⅩ+bと置きます。

もう1度整理して書くと

整式P(Ⅹ)商 Q(X)割る数 (Ⅹ-2)(X+3)余り aⅩ+b

これらを使って式を書くと
P(X)=(X-2)(X+3)Q(X)+ aⅩ+b
(わかりずらいときは 5÷3=1あまり2 5=3×1+2で考えてみましょう)
となります。(X-2)(X+3)=X2+X-6なので余りは1次式になります。

ここまできたらあと少しです。

上の式に、X=2とX=-3を代入した式を作ります。

(X-2)(X+3)にどんな数字を入れれば、式の値が0になる数字を考えると
括弧の中を0に出来る数字を入れるのが、とても早いのです。

X=2の時
P(2)=2a+b=4
これは問題に「Ⅹ-2で割ると4余り」と書いてあるからです。

同じように

X=-3の時 P(-3)=-3a+b=11

この2つの式を連立すればaとbがでます。
そうすればあとは、代入して出るはずです。

実際の教科書の問題からとりましたので、見比べながら解いてみてください。

[2023-04-16]