偏差値について考えてみよう

こんにちは。荏原町校の河野です。

ようやく朝晩が冷えるようになってきました。受験生の皆さんは
志望校を決めましたか?学校説明会、文化祭に行っていない、行くのを忘れた
という方は、学校によってはアポを取れば個別に相談してくれるところも多い
ので、是非とも受験する学校は一度足を運んでおきましょう。

受験生の方はVもぎなどの「模擬試験」を数多く受けていると思います。その結
果で皆さんがまず目にするのが「偏差値」のはずです。偏差値がどのように求
まるか知っていますか?別の機会があれば話したいと思いますが、勉強におい
て、バックグラウンドを知ることはとても重要です。そこで今回は偏差値の考
え方と計算についてお話したいと思います。
「偏差値」とは「他の人とどれぐらい差がついているか」を表すパラメータで
す。これを求めるには「全員の点数にどれぐらいのバラつきがあるか」を考え
る必要があります。
まずはその「散らばり具合」を求めます。これを「標準偏差」といいます。
各受験者の「(点数-平均点)」を求め、すべて二乗します
①のデータを受験者全員分求め、すべて足し合わせます。
足し合わせたものを受験者の人数で割り、最後に正の平方根を取ります
文章だけだとよくわからないので、例を挙げてみましょう。
AさんからEさんの5人がテストを受けたとして、5人の点数がそれぞれ69点、
71点、67点、73点、70点だとします。平均点は何点でしょうか?
平均点は「(全員の点数の合計)÷(人数)」でした。これを計算すると、
(69+71+67+73+70)÷5=70点
となります。ただし平均点からわかるのは「真ん中の点数」だけであり、これ
だけでは他の受験生がどのような分布なのかということはわかりません。入試
で重要なのは「他の受験生との差」です。ここから「標準偏差」を求めます。
ここで5人の点数で「(点数-平均点)」を計算し、二乗してみると、順に
69-70=-1→(二乗して)1、71-70=+1→1、67-70=-3→9、73-70=+3→
9、70-70=0→0、
となります。ではこれらをすべて足し合わせ、人数で割りましょう。
1+1+9+9+0=20、20÷5=4となります。(二乗したのは、欲しい情報が「各
受験生の点数が平均からどれだけ離れているか」であり、それが平均より上か
下かは必要としないからです。)
二乗したからにはその逆の操作である平方根を取る必要があります。
4の正の平方根は2です。よって「標準偏差」は「2」です。これは先ほども述べ
たように、「点数の散らばり具合」を示すものであり、平均点は散らばり具合
の基準となっているのです。同じ平均点70点でも、もし5人の点数が全員70点だ
ったら、平均点からの差は5人とも全くありませんから、標準偏差は「0」とな
ります。
最後に偏差値を求めましょう。偏差値が50でちょうど真ん中であることは皆さ
んも知っているはずです。50が平均になるようにして、そのうえで先ほど求め
た「標準偏差」を考えます。具体的には
(偏差値)=「(点数-平均点)÷(標準偏差)」の10倍+50
で求まります。この「(点数-平均点)」というのは標準偏差の計算で出てきま
した。バラつきです。つまり、
「(点数-平均点)÷(標準偏差)」とは、「全員の点数の散らばりの平均に対し、
各受験生のバラつきがどれぐらいか」ということです。ややこしいですね。も
う少しいうと「自分は周りと比べてどれぐらい平均から遠ざかっているのかな
…」ということなのです。それが平均点より高い方向に遠ざかっていれば偏差
値は上がりますし、逆に平均点より低いほうに遠ざかっていれば偏差値は下が
ります。上の例をもう一度整理しましょう、AさんからEさんの5人がテストを受
け、点数が順に69点、71点、67点、73点、70点、平均点が70点、そして「標準
偏差」が「2」でした。実際に偏差値を計算してみましょう!
Aさんは69点なので、偏差値は{(69-70)÷2}×10+50=-10+50=40
Dさんは71点なので、偏差値は{(71-70)÷2}×10+50=+10+50=60
平均からの差が標準偏差一個分だけずれていれば、偏差値は10違ってきます(そ
のようにルールとして決めたのです)。偏差値は「周りとの差」です。「いい点
を取ったのに偏差値が低い」「失敗したのに偏差値はそんなに悪くなかった」
となることの理由が少しでも理解していただければ幸いです。
繰り返しになりますが受験は「周りと差をつける」ための試験です。そのため
には「皆が解ける問題」は必ずできるように、かつ周りが手こずるような応用
問題を解けるようになる必要があります。大変ですが、我々も全力でサポート
していきますので、頑張りましょう!

[2013-12-04]