面白い数学

こんにちは。勉強を頑張っているかと思いますが、少し息抜きをしたくなることもあると思います。そこで、今回は面白い数学の問題をご紹介したいと思います。
皆さんは「モンティ・ホール問題」というものをご存じでしょうか。昔アメリカのテレビ番組で紹介されたものです。問題・ルールは以下の通りです。

プレイヤーの前に閉じた3つのドアがあります。
1つのドアの後ろには当たりである「新車」が、2つのドアの後ろには、はずれである「ヤギ」が用意されています。当たりを選べれば「新車」が手に入ります。
まず、プレイヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうち、ヤギがいるドアを1つ開けます。
つまり、3つのドアは

・プレイヤーが選択したドア

・司会者が開けた「ヤギ」がいるドア

・残っている開けられていないドア

という状態になります。
ここでプレーヤーは、以下の2択のどちらかを選びます。

・最初に選択したドアをそのまま選ぶ

・残っている開けられていないドアを選びなおす
あなたはどちらを選びますか。もしくは、どちらを選んだほうが「新車」が当たりやすいと考えますか。


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・
・

回答としては、ドアを変更した方が、当たりやすいです。
解説としては、最初にプレイヤーがドアを選択した時点では、
選んだ1枚のドアが当たりである確率 …… 1/3
選ばなかった2枚のドアのうちどちらかが当たりである確率 …… 2/3


もし選んだ1枚が当たりなら残された2つのドアはどちらもハズレのため、司会者がどちらを開けようとも選択を変えないのが正解です。

もし選ばなかった2枚のどちらかが当たりなら残された2つのドアのうち片方はハズレであり、司会者は必ずこのハズレドアを開けます。となれば最終的に残ったドアは必ず当たりであるから選択を変えるのが正解です。

先ほど述べたように、最初に当たりを引く確率は1/3、ハズレの確率は2/3です。これはつまり、最初の選択のままで当たる確率が1/3、選択を変えると当たる確率が2/3であると言い換えることができるので、変更した方が2倍の確率で当たるので変更した方が良いとなります。

どうでしょうか。直感からは反するパラドックスの代表的な例ですので少しもやっとするかもしれませんね。時間がある時に、紙コップとボールで試してみてはいかがでしょうか。


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[2021-06-26]